山东公务员

例题

某商店规定，每四个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，小明家买了24瓶啤酒，他家前后最多能喝到多少瓶啤酒?

A.30 B.31 C.32 D.33

【中公解析】选C。空瓶换水问题通常会在题目里明确制定规则，多少个空瓶可以交换多少瓶水或酒，如果没有方法地去解，那就是完成一次一次的换酒过程：24瓶啤酒的空酒瓶首先可以换来六瓶啤酒，这六瓶啤酒喝完又剩下六个空瓶，可以第二次交换一瓶啤酒，同时剩余两个空瓶，这一瓶啤酒喝完再次产生一个空瓶，加上第二次交换后剩余的还有三个空瓶，但交换没有结束，此时找店家借一个空瓶凑齐四个空瓶换一瓶啤酒，这瓶啤酒喝完后可以把剩余的空瓶还给店家，这样全部交换完成后，一共喝到了24+6+1+1=32瓶啤酒，于是选择C选项。这样的解题方法可以完成题目，但是由于步骤较多，流程较长，如果题目中初始空瓶数量比较多的情况下，就会浪费时间。

所以接下来让我们抽象一下空瓶换水问题的模型：

假设n个空瓶可以换一瓶水，那么我们把这一瓶水也可以称为一个空瓶加一份瓶装水，于是n空瓶=1空瓶+1瓶中水，化简后可得(n-1)个空瓶可以换到1瓶中水，这样就避免了最后一步借还空瓶的过程，因为这样每一次只换瓶中水，不剩余空瓶，所以当我们有m个空瓶时，最多就可以换到m/(n-1)瓶中水。

这个模型带入上面的例题，4个空啤酒瓶可以换一瓶啤酒，那么3个空啤酒瓶就可以换一份纯啤酒，现在喝完之后产生了24个空瓶，那么最多可以交换24/3=8，也就是8份纯啤酒，所以最多能喝到24+8=32瓶啤酒，这样就极大简化了做题的步骤，节约了做题时间。